Felipe Meligeni Rodrigues Alves é irmão mais novo de Carol Meligeni e sobrinho de Fernando Meligeni. Teve uma infância marcada pelo tênis, já que seus pais são professores e seu tio tenista profissional. Felipe iniciou na escolinha de tênis do Tênis Clube de Campinas (TCC) aos 6 anos, passando pelas categorias infantil e juvenil. Pelo TCC foi campeão paulista e campeão brasileiro com 14 e 16 anos. Aos 16, mudou-se para São José dos Campos, depois foi para o Uruguai e então seguiu para a Espanha.
No circuito juvenil, ele chegou a ser o número 34 do mundo, em abril de 2016, ano em que conquistou o título de duplas do US Open juvenil junto com Juan Carlos Aguilar. Um ano antes, Felipe já havia disputado seu primeiro torneio profissional, estreando no ranking em junho de 2015. No circuito da ATP, ele disputou 16 partidas e venceu cinco, tendo como melhor ranking de simples a 128ª colocação (abril de 2022).
Os melhores resultados de Felipe até então aconteceram nas duplas, faturando dois títulos de ATP, ambos ao lado de Rafael Matos, com quem ergueu a taça nos ATP 250 de Córdoba (2021) e de Santiago (2022). Foi também em 2022 que atingiu sua melhor marca nas duplas, o 75º lugar.